ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ (гео… ва метрия) — мат. нинг предмет шакллари ва шаклий муносабатларини ўрганадиган бўлими. Ер ўлчаш билан боғлиқ равишда пайдо бўлган. Номи шундан. Мас, очиқ цилиндрсимон идишнинг шакли, ҳажми, сиртининг юзи Геометрия ўрганиш объектлари, унинг ранги ёки қандай моддадан ясалгани эса Геометрияни қизиқтирмайди. Шунингдек, асоси дойра бўлса ҳам, шаклда эллипс билан тасвирланиши Геометрияга мансуб муносабатдир. Геометрия ту-шунчаларни мавҳумлаштириб, идеаллаштириб ўрганади. Mac, цилиндрсимон идишнинг асоси доирадан бир оз фарқ қилиши, ясовчиси тўппа-тўғри бўлмаслиги мумкин, сирти қалинликка эга, асоси билан ён сирти тик туташмай, силлиқланган бўлади, лекин Геометрияда бу каби тафеилотлар соқит қилинади. Шундай йўл билан ўлчамларга эга бўлмаган нуқта, ҳар икки томонга чексиз давом этувчи тўғри чизиқ каби тушунчалар, параллеллик, симметриклик каби муносабатлар ҳосил қилинади. Бунинг эвазига татбиқ доираси жуда кенг, маълум маънода мутлақ ва универсал табиатли қонуниятлар аниқланади.

Геометрияга оид дастлабки маълумотлар Қад. Бобил ва Мисрда кузатув йўли (эмпирик усул) билан тўпланган. Мас, бир жуфт параллел тўғри чизиқни учинчи тўғри чизиқ кесиб ўтса, ҳосил бўлган 8 та бурчакдан тўрттадани ўзаро тенг; томонлари 3, 4 ва 5 бирлик бўлган учбурчакнинг бир бурчаги тўғри. Геометрик хоссаларни тўплаш юнонлар томонидан давом эттирилган. Бу муаммо устида мушоҳада айрим далилларни бошқаларидан соф мантиқий йўл билан чиқаришга олиб келган. Тайин геометрик хоссани мантиқий мушоҳада билан келтириб чиқариш исбот, исботланган хосса эса теорема деб атала бошлаган. Дастлабки шундай далиллардан бири Фалес (мил. ав. 625-548 й. лар) теоремасидир. Юнон файласуфи Пифагор академиясида мантиқ ва мат. муҳим ўрин тутиб, мунтазам теоремалар исботини излаш билан шуғулланишган. Табиийки, бунда имкони борича оз далилдан бошқа барча далилларни келтириб чиқаришга уринилган. Бу уринишлар якуни сифатида Евклид ўзининг машҳур «Негизлар» асарини яратади. Бу асар нафақат мат. тарихида, балки умуман тафаккур тараққиётида беқиёс ўрин тутиб, 2000 йил да-вомида мантиқий мушоҳада намунаси бўлиб хизмат қилди. «Негизлар» да Евклид нуқта, тўғри чизиқ, текислик, тенглик, тўғри чизик ёки текисликнинг нуктадан ўтиши (инцидентлик) каби тушунчаларни асос қилиб олиб, кесма, бурчак, кўпбурчак, параллеллик, перпендикулярлик каби тушунчаларга таъриф беради. Худди шу сингари 10 та геометрик далилни исботсиз қабул қилади (улар аксиомалар ва постулатлар деб аталган) ва бирин-кетин теоремаларни келтириб чиқаради.

Қад. Миср ва Бобилда Геометрия амалий эҳтиёжлар: майдонлар юзини ўлчаш, навигация, астрономия, меъморлик масалаларини ҳал қилиш учун вужудга келган бўлса, Юнонистонда Геометрия санъат сифатида ҳам ривожланиб, юксак натижаларга эришди. Хусусан, циркуль ва чизғич ёрдамида шакллар ясаш ривож топди. Юнонларнинг бу соҳада эришган даражаси шундан ҳам кўринадики, улар қўйган мунтазам кўпбурчаклар ясаш масаласи 1796 й. (К. Ф. Гаусс), дойра квадратураси масаласи эса 1882 й. дагина (Ф. Линдеманн) ҳал қилинди. Юнонлар доира ва б. айрим эгри чизиқли шакллар юзлари, пирамида, конус ва шар ҳажмларини ҳисоблашда интеграл ҳисоб элементлари қўллаганлар (Архимед ва б.). Пергалик Аполлонийга мансуб конус кесимлари назариясини эса шубҳасиз юнон Геометрия сининг гултожиси дейиш мумкин.

Мил. нинг 3-асридан кейин юнон Геометрияси умуман маданият билан бирга инқироз томон юз тутди, лекин Геометрия араб шарқи мамлакатлари, Ўрта Осиё ва Ҳиндистонда тараққий қила борди.

7—8-а. лар давомида Ҳиндистонда Геометрияга оид айрим ютуқлар қўлга киритилган бўлса ҳам (мас, айланага ички чизилган тўртбурчак юзи учун Браҳмагупта формуласи), фан тарихидаги уйғониш 9-а. дан араб тилида ижод қилган Яқин ва Ўрта Шарқ, хусусан, ўрта осиёлик олимлар фаолияти билан боғлиқ. Аҳмад алФарғоний стереографик проекцияга оид Птолемей қолдирган теоремаларнинг исботини берди, текислик тригонометрияси ва сферик тригонометрия яратилди (Баттоний, Беруний, Насриддин Тусий, Абул-Вафо ва б.). Алгебра геометрияга ва геометрия алгебрага татбиқ қилина бошлади. Бу ғоялар 16-а. дан Европа олимлари томонидан ривожлантирилиб, аналитик геометрияга асос солинди, (П. Ферма, Р. Декарт). Шу даврдан бошлаб меъморлик ва тасвирий санъат юксалиши муносабати билан перспектив акслантириш хоссалари ўрганилди ва проектив геометрия вужудга келди. 18-а. да дифференциал ва интеграл ҳисоб ихтиро қилингач, Геометрия масалаларини ечишнинг стандарт усуллари ишлаб чиқилди ва силлиқ чизиқлар ҳамда сиртларни ўрганувчи дифференциал геометрия ривожланди. Ясси чизиқ, фазодаги чизиқ ва сирт мос равишда x=x(t) У = АО х = (xt) У = y(t) z = (zt) x = (xu, v) = (yu,v) = (zu,v) кўринишдаги формулалар билан берилади. Mac, x=(‘/J+rcosv/)cosi/, y-(R+ +rcosv)s’inu, z—rsinv тенгламалар тор деб аталувчи сирт ҳосил қилади (5-расм). Агар бу ерда u-2t, v=3r деб олин-са, тор устида ётувчи чизиқ тенгламаси ҳосил қилинади (у тугунли бўлиб, уч япроқ деб аталади). Б. Риман кичик бўлаклари юқоридаги каби системалар билан бериладиган объектлар у-ихтиёрий ўлчамли қурамa (manyfold) тушунчасини киритди. Шундан сўнг Геометрия бутун мат. учун кучли қуролга айланди (С. Ли, Э. Картан ва б.). Хусусан, бу ёндашув нисбийлик назариясида муҳим татбиқлар топди. 19-а. охири ва 20-а. бошида чизиқлар, сиртлар ва қурамаларнинг гўё резинкадан ясалган деб исталганча деформациялаганда ўзгармайдиган хоссалари йиғилиб борди.

Уларни ўрганишда дифференциал ҳисоб усуллари етмас ёки ожизлик қилар эди. Мас, Мёбиус япроғининг фақат битта томони борлиги, уч япроқ тугунини ечиб бўлмаслиги шундай хоссаларга киради. Бу масалалар Геометриянинг янги бўлими — топология туғилишига олиб келди. У эса, ўз навбатида, 20-а. мат. сини ифодаловчи Геометрия, алгебра ва функциялар назариясининг синтезидан иборат йўналиш — хилма-хил фазоларни ўрганишга пойдевор бўлди.

Евклиднинг «Негизлари» 2000 йил давомида мантиқий қатъийлик намунаси бўлиб келганлигига қарамай, унинг айрим ўринларига танқидий назар билан қаралиб такомиллаштирилган: бошланғич тушунчалар таркиби қайта кўриб чиқилган, нуқталарнинг тартибига оид ва узлуксизлик аксиомалари билан тўлдирилган, қатор аксиомалар эса бошқалари орқали исботланиб, теоремалар қаторига ўтказилган. Бу иш Д. Гильбертнинг «Геометрия асослари» асарида якунланди.

Деярли Евклид замонидан бошлаб унинг 5-постулати ёки унга тенг кучли параллеллик аксиомасини исботлашга жуда кўп уринилган (жумладан, Насриддин Тусий, Умар Хайём, И. Г. Ламберт), чунки математикларда у теорема бўлиши керак деган ишонч ҳукм сурган, хилма-хил «исботлар» ҳам таклиф этилган, леккн бу исботларнинг барчасида мантиқий носозлик учрайди — Евклид аксиомасига тенг кучли бошка тасдикдан (мас, учбурчак бурчакларининг йигиндиси 180° га тенглигидан) фойдаланиб кетилган. Бу соҳадаги изланишлар аввал Евклид Геометрия сидан параллеллик аксиомаси соқит қилинган мутлақ Геометрия, сўнг параллеллик аксиомаси ўрнига унинг инкори аксиома қилиб олинган ноевклид Геометрия (Лобачевский геометрияси, 1826 й.) ихтиро қилинишига олиб келди. Евклид Геометрияси ҳам, ноевклид Геометрия ҳам бир хил даражада зиддиятдан холи эканлигини қатьий исботлаган Ф. Клейн группа тушунчаси ёрдамида Геометрия соҳаларининг таснифини берди (Эрланген дастури). Унга мувофиқ ҳар бир Геометрия ўзининг геометрик алмаштиришлар группаси билан ифодаланади. Шаклларнинг бундай алмаштиришларда ўзгармай қоладиган (инвариант) хоссалари тегишли Г. Соҳаларининг ўрганиш объекти бўлади. Клейн нуқтаи назаридан махсус нисбийлик назарияси Лоренц группасига мос келувчи Геометрия дир. Шаклларнинг хоссаларини ўрганишда уларнинг кўламига қараб Геометрия яна икки турга бўлинади: шаклларнинг кичик (маҳаллий) соҳалари хоссаларини ўрганувчи соҳалар геометрияси ва шаклларни яхлит объект сифатида ўрганувчи тўла (глобал) Г. Ҳозирги даврда Геометрия математиканинг барча соҳаларида, шакл ва ҳолатларга доир тушунчаларни тасаввур қилишда қўлланилмоқда.

Ўзбекистонда ҳам Геометрия тарихига оид тадқиқотлар олиб борилади (Г. П. Матвиевская, А. Аҳмедов ва б.) – ЎзМУ, СамДУ математиклари томонидан Геометрия ривожлантирилмоқда.

Абдулла Аъзамов.

---

Кирилл алифбосида мақола: ГЕОМЕТРИЯ ҳақида тўлиқ маълумот категорияси: Г ҳарфи фикрингиз бўлса изоҳда қолдиринг ва дўстларингиз билан улашинг биз бундан минатдор бўламиз бизни кузатишни давом этинг (у ким, бу нима, қанақа ?, тушунчаси деган саволарга жавоб топишингиз мумкин)