ALGEBRA

ALGEBRA (arab. — al-Jabr) — matematikaning bir sohasi. Buyuk oʻzbek olimi Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy «Al-jabr val-muqobala» asarida dunyoda birinchi marta Algebrani izchil bayon qildi. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, algebra nomi bilan jahonga tarqalgan. Algebra tiklashni, yaʼni manfiyhadlarni tenglamaning ikkinchi tomoniga oʻtkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildiradi. Algebraning asosiy masalasi — toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (mas, oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikada tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik obyektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilanib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi. Umar Xaoʻyom Algebrani tenglamalar yechish haqidagi fan deb taʼriflagan edi. Uning bu taʼrifi 18-a. oxirigacha kuchini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda Algebra yangi yoʻnalishlar bilan kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida oʻz ahamiyatini saqlab ham kolli. Qad. misrliklar ancha murakkab ma-salalarni yechganlar (arifmetik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning taʼrifi, ularning yechilishi ogʻzaki soʻz 6-n faqat sonli misollar uchun berilar edi. Bu misollar shakl jihatidan 1-va 2-darajali teiglamalarni yechishda umumiy usullarning toʻplanayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi. Bu yerda geometrik tekshirishlar mantiq tomonidan shunday yoʻlga qoʻyilgan ediki, unda har bir aytilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuchli taʼsiri natijasida arifmetika va Algebra masalalari geom. tili bilan bayon etilardi. Mas, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor koʻpaytmasini toʻgʻri toʻrtburchakning yuzi deb qaralardi. Hoz. zamon mat. sida miqdorning oʻz-oʻziga koʻpaytmasini «kvadrat» deb atash geometrik tilning hozirgacha saqlanib kelishidan namunadir. Yunonlar erishgan natijalarni toʻldirish, umumlashtirish va taraqqiy ettirishda Turkiston matematiklari katta hissa qoʻshdilar. Ildizlarni hisoblash, bir qator tenglamalarni taqribiy yechish usullari, Nyuton binomi umumiy formulasining soʻz bilan taʼriflangan ifodasini berish Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. 9 — 10-a. larda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yashagan va fan sohasida oʻzlarining yirik ilmiy ishlari bilan dunyoga nom taratgan edilar. 1074-y. da Umar Xayyomning «al-Jabr» degan boshqa bir kitobida chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechish, uchinchi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul bilan izlash va b. juda koʻp masalalarni yechish yoʻllari koʻrsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham oʻsha zamon uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan arifmetika va Algebra masalalarining yechimlari berilgan. Uning mat. ga, xususan, Algebra va arifmetikaga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga koʻtarish amallari tekshirilgan. Qad. dunyo tarixidan to al-Xorazmiy davriga qadar matematika A. va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boshlab Algebra matematikaning alohida boʻlimi boʻlib ajraldi. 15-a. da Samarqandda mashhur Ulugʻbek rasadxonasining tashki l topishi astronomiyaning taraqqiy etishi bilan bir qatorda mat. ning rivojlanishiga ham sabab boʻldi. Algebraning taraqqiyoti uchun amallarni soʻz bilan ifoda etishdan koʻra ular oʻrniga qulay belgilar topib ishlatish zarur edi. Bu ish juda sekinlik bilan bordi: qad. misrliklar kasr uchun alohida belgi ishlatishgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uchun (yun. isos — teng) ishlatgan. Italyan olimlari plyus va minus soʻzlari oʻrnida ustiga alohida chiziq chizilgan va t harflarini ishlatishgan. 15-a. oxiriga kelgandagina hoz. = va — ishoralari kiritilgan. Bundan keyingi davrda masalada qatnashadigan miqdorlar, shuningdek nomaʼlumlar harflar bilan belgilanadigan boʻldi. 16-a. oʻrtalarida hoz. zamon algebrasidagi timsollar toʻla takomillashtirildi. Algebrada bunday toʻla timsollarga oʻtishga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tushuntirish, biror umumiy fikrni taʼriflash mumkin emas edi. 16-a. da nomaʼlum miqdorlar uchun unli A, Ye, harflari, maʼlum miqdorlar uchun esa unsiz V, S, D, harflari ishlatilib, oʻsha vaqtda kiritilgan matematik amallar bilan bogʻlandi. Shunday qilib, hoz. zamon Algebrasi uchun xos boʻlgan harfiy formulalar birinchi martaba paydo boʻldi. Har qanday tayin son oʻrniga timsoliy belgilarning kiritilishi, harflardan arifmetika amallarini yechishda foydalanilishi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu bilan formulalar tili boʻlgan matematik vosita hosil qilindi. Shu vositasiz 17-a. da oliy mat. ning yorqin taraqqiyoti, cheksiz kichik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini berish masalalarini xayolga keltirish ham mumkin emas edi. 17-a. da Dekartning analitik geometriya tuzishda tutgan yoʻli Algebrada paydo boʻlayotgan man-fiy son tushunchasini geometrik tasvirlash bilan birga, manfiy sonlarning fandagi oʻrnini mustahkamladi. Nomaʼlum sonlar uchun x,y,z harflarini ishlatish Dekartdan boshlangan boʻlib, hozir ham shunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelishi Algebraning katta yutugʻi boʻldi. Agar yunonlar Algebra masalalarini geom. tilida tahlil qilgan boʻlsalar, endi, aksincha, geom. masalalari Algebra formulalariga koʻchiriladigan boʻlib koldi. 17-a. oxiri — 18-a. boshlarida ishlab chiqaruvchi kuchlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlarning mat. oldiga qoʻygan talablari munosabati bilan differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boshladi. Bunga Algebraning bosib oʻtgan tarixiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab bergan edi. Bu davrda Algebra bilan matematik tahlil bir-biri bilan jips munosabatda taraqqiy qilardi. Algebraga funksional bogʻlanish masalalari kira boshladi. Tahlil esa Algebraning boy formulalari toʻplamidan foydalana bordi. 18—19-a. larda Algebra taxlildan fark qilib, diskret va chekli miqdorlar bilan ish koʻrardi: bu davrda Algebra asosan koʻphadlar bilan shugʻullanardi. 2-darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan Algebrada irratsional va kompleks sonlarning fanga kiritilishi uchun ehtiyoj tugʻiladi. Bu sonlarning kiritilishi bilan 18-a. da Algebra hoz. zamon oʻrta maktabida oʻtilayotgan Algebra hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgilardan foydalanib turli sonlar tizimlarining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi bilan yechishning umumiy metodlarini urganadigan Algebra klassik algebra deb yuritiladi. Klassik Algebrada kv. tenglamani yechish qad. dunyodan maʼlum, ammo uchinchi va toʻrtinchi darajali tenglamalarni yechish formulalarini esa faqat 16-a. da italyan matematiklari Kardano, Tartalya va Fer-rari yaratib berdi. Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koef-fitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikallarda ifoda etadi. Da-rajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham shu yoʻsinda ifodalash masalasi koʻp vaqn olimlar diqqatini oʻziga jal b qilib keldi. Oradan 300 i. oʻtgach, 19-a. da Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori algebraik tenglamalar ildizlarini koeffitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal koʻrinishida ifoda etish mumkin emasligini isbot kildilar (q. Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini beradi va tenglamani tekshirishni bu guruhni tekshirishga keltiradi. Algebraik tenglamalar ildizlarining soni va ularning qaysi sohaga tegishli boʻlishi masalalari ham koʻp vaqtdan beri olimlarning diqqat markazida turgan masalalardandir. DʻAlamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kompleks ildizga ega ekanligini isbotladilar (q. Oliy algebraning asosiy teoremasi). 19-a. boshlarida mavhum sonlarning tabiatini oʻrganish tufayli matematik amal tushunchasi kengaya boshladi. Ingliz matematiklari birinchi boʻlib matematik amalning mavhum tushunchasiga keldilar va bu tushunchani yangi matematik obyektlarga tatbiq qilish bilan Algebra sohasini kengaytir-dilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkompleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ boʻlmagan algebralar va algebraik geometriya tashkil topdi va rivojlandi, yangi algebraik obyektlar, chunonchi xalqa, maydonlar paydo buddi. Bular 19-a. 1-yarmidagi Algebrani jonlantirdi. Oʻsha vaqtgacha Algebra metodlari va natijalari Algebraning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yechishdan iborat edi. 1850-y. dan keyin esa ahvol oʻzgardi, yangi izlanishlar borgan sari hoz. kunda algeb-raning asosiy muammosi hisoblangan mat. amallarni oʻrganishdan iborat boʻla bordi. 19-a. 2-yarmida algebraik sonlar, invariantlar va guruhlar nazariyasi vujudga keldi. 20-a. da algebra mat. ning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biol., genetika kabi boshqa fanlarga ham jadal kirib keldi, yaʼni matematika va b. koʻpgina sohalarni algebralashtirish jarayoni roʻyobga keldi. Ayni paytda Algebra va mat. ning turli sohalari chegarasida mat. ning yangi yoʻnalishlari, chunonchi Algebra va funksional analiz oʻrtasida Banax A. lari:, operatorlar Alari nazariyasi, Algebra bilan topologiya oʻrtasida gomologak Algebra va h. k. paydo boʻldi. Algebra fanining rivojlanishiga bir qancha oʻzbek olimlari, chunonchi: T. Sarimsoqov, Sh. Ayupov, J. Hojiyev va b. oʻz hissalarini qoʻshdilar. Algebra ehgimollar nazariyasi, topologiyaga oid topologik yarim maydonlar va umuman tartiblangan Algebralar nazariyasini birinchi marta Oʻzbekistonda T. Sarimsoqov oʻz shogirdlari bilan yaratdi.

Shavkat Ayupov.

---

Lotin alifbosida maqola: ALGEBRA haqida to'liq ma'lumot kategoriyasi: A harfi fikringiz bo'lsa izohda qoldiring va do'stlaringiz bilan ulashing biz bundan minatdor bo'lamiz bizni kuzatishni davom eting (u kim, bu nima, qanaqa ?, tushunchasi, degan savolarga javob topishingiz mumkin)