ТОПОЛОГИЯ

ТОПОЛОГИЯ (лот. topos — жой, ўрин ва…логия) — мат. нинг исталган табиатли объектлар шакли билан боғлиқ энг умумий хоссаларни ўрганувчи соҳаси ҳамда шу соҳанинг энг муҳим тушунчаларидан бири.

Геометриянинг бир неча минг йиллик тарихий ривожланиши давомида кўплаб тайин чизиклар ва сиртлар хоссалари ўрганиб келинган бўлса, 19-а. нинг сўнгги чорагида, бир томондан, Б. Риман, С. Ли каби математиклар чизиқ ва сирт тушунчаларини умумлаштириш натижасида анча кенг геометрик образ — қурама (кўпхиллик ҳам дейилади) тушунчасини киритдилар; иккинчи томондан, функцияларнинг турли синфларини ўрганиш натижасида француз математиклари А. Лебег (1875 — 1941), Э. Борель (18711956) ва б. ишларида analisis situs (ўринжой таҳлили) деб номланган йўналиш шакллана бошлади. Худди шу даврда италиялик математик Э. Бетти (1823—98) кўпёкдилар ҳақидаги Эйлер теоремасини умумлаштириб, кўп ўлчовли кўпёқсимон (ҳоз. атамага кўра, чизиқли бўлакли) қурамаларнинг мураккаблик даражасини белгиловчи кўрсаткич — Бетти сонларини киритди. Бир оз кейин Ж. А. Пуанкаре яна ҳам умумийроқ гомологик ва фундаментал группа тушунчаларини қўллаш натижасида Топология мат. нинг кейинги тараққиётида муҳим роль ўйнашини башорат қилди. 20-а. бошларида немис математиги Ф. Хаусдорф (1868—1942) топологик фазо тушунчасига таъриф берди. Шундан сўнг Топологиянинг жадал суръатлар билан ривожланиш даври бошланди. 20-а. нинг ўрталарига келиб Топология алгебра билан бир қаторда бутун мат. нинг пойдеворини ташкил қилиши, мат. соҳалари у ёки бу даражадаги нисбатда олинган алгебра билан Топология тушунча ва ғояларининг синтезидан иборат бўлиши эътироф этилди.

Агар исталган табиатли X тўплам ўз ҳолича қаралса, унинг элементлари орасида ҳеч бир муносабат бўлмайди. Агар X тўплам метрик фазо бўлса, у ғолда нуқталар орасида масофани ўлчаш ва шу билан боғлиқ тушунчаларни ўрганиш имконияти туғилади. Бунга нисбатан ғоят кенг тушунча — нуқтанинг қисмтўпламга яқинлиги ёки нуқтанинг атрофи тушунчасидир. Мас., математик анализнинг асосий гояси — функцияларнинг локал (яъни нуқтанинг атрофидаги табиати билангина белгиланадиган) хоссалари ва улардан келиб чиқадиган натижаларни ўрганишдан иборат. Бунда а нуқтанинг (а—е,яҚе) кўринишдаги интерваллар мажмуаси асосий роль ўйнайди. Агар X тўпламнинг ҳар бир нуқтаси учун қуйидаги аксиомаларни каноатлантирадиган атрофлари мажмуаси кўрсатилган бўлса, X топологик фазо бўлади;

1) ҳар бир нукта ўзининг ихтиёрий атрофига тегишли;

2) агар U нуктанинг атрофи ҳамда UcW бўлса, у ҳолда W ҳам шу нуқганинг атрофи. Шундай қилиб, топологик фазо — бирор йўсинда Топология билан таъминланган тўпламдир. Бунда ана шу мажмуалар тизими X фазонинг Топологияси дейилади. Мас., X тўплам [а, Ь] кесмада аникланган узлуксиз функциялардан ташкил топган бўлса, (fx) функциянинг атрофи қандай функциялардан тузилишига қараб хоссалари бир-биридан фарқ қиладиган топологик фазолар ҳосил бўлади.

Одатда, бир тўплам бир неча усулда топологик фазога айлантирилиши мумкин. Бунда уларнинг топологиялари нуқталар атрофлари мажмуалари бойлигига қараб ўзаро таққосланади — бир Топология иккинчисига нисбатан кучлироқ (бойроқ), иккинчиси эса кучсизроқдеб аталади. Мас., барча х нуқта учун биттагина атроф X нинг ўзидан иборат бўлса, энг кучеиз Топология, аксинча х ни ўз ичига оладиган исталган тўплам унинг атрофи деб эълон қилинса, энг кучли (дискрет) Топология ҳосил бўлади. Шунингдек, Топология атрофлар ўрнига очиқ тўпламлар, ёпиқ тўпламлар, чегара, ёпилма, тўпламнинг очиқ ядроси, атрофлар базаси каби хилмахил усулда аниқланиши мумкин — уларнинг бари ўзаро тенгкучлидир. Исталган тўпламда турли усулда хилмахил Топология киритиш мумкинлиги Топология мат. нинг универсал соҳаси эканлигидан далолат беради.

Топологиянинг энг муҳим тушунчаларидан бири — бир топологик фазонинг иккинчи топологик фазога узлуксиздир. Бунда Ғнинг х0 нуқтадаги узлуксизлиги шундай таърифланади: J[x0) нинг ихтиёрий V атрофи учун хд нуқта (fU)cV шартни қаноатлантирувчи U атрофга эга. Топология татбиқларида бунга нисбатан тескари ёндашув ҳам кўп қўлланади: агар f:X>Y акслантириш берилган бўлиб, X (ёки Y) топологик фазо бўлса, у ҳолда Yда (мое равишдан X да) Ғакслантириш узлуксиз бўладиган энг кучсиз (мое равишда энг кучли) Топология киритиш мумкин. Бу усулни умумлаштириш йўли билан топологик фазолар ва узлуксиз акслантиришлар устида қисмфазо, Декарт кўпайтмаси, топологик фазоларни елимлаш каби муҳим амаллар аникданади.

Шундай қилиб Топология — топологик фазолар, уларнинг узлуксиз аксланмалари ҳамда улар билан бошқа математик объектлар орасидаги муносабатларни ўрганувчи фандир. Агар А’ва К топологик фазолар ўртасида ўзи ҳам, тескариси ҳам узлуксиз бўлган ўзаро бир қийматли акслантириш ўрнатиш мумкин бўлса, X ва Y гомеоморф фазолар дейилади. Бундай фазолар Топология нуқтаи назаридан бир-биридан фарқ қилмайди — бирига оид хоссалар иккинчисида ҳам ўринли бўлади. Шунинг учун мана шундай, яъни гомеоморф акслантиришда ўзгармайдиган хоссалар топологик инвариантлар дейилади. Топологик фазонинг компактлиги, ўлчами, туташ (боғламли) компоненталар сони, бир нуқтага йиғиштирилиши, сиртларнинг бир ёки икки томонлилиги, уч ўлчовли фазодаги чизикдарнинг тугилган ёки тугилмаганлиги топологик инвариант намуналаридир. Топологияда инвариантлар воситасида мураккаб муаммолар ҳал этилади.

Топологик фазолар, уларнинг акслантиришлари ва инвариантларининг хилмахиллиги туфайли 20-а. нинг 2 ярмидан Топология тармоқланиб ривожлана бошлаган. Умумий (назарий абстракт) Топологияда топологик фазолар қўшимча аксиомалар билан ўрганилади. Комбинаторик (чизиклибўлакли) Топология триангуляцияланадиган фазоларни текширади. Алгебраик Топологияда топологик масалаларни алгебра масаласига келтиришга асосланган усуллар ривожлантирилади. Дифференциал Т. да дифференциал геометрия ва Топология чегарасидаги масалалар, махсусликлар назариясида силлиқ акслантиришларнинг хусусиятлари, Кназарияда Топологиянинг дифференциал операторларга татбиқи ўрганилади. Топология, шунингдек, назарий ва квант механикаси, нисбийлик назарияси каби соҳаларда муҳим татбикларга эга.

Ад.: Понтрягин Л. С, Основў комбинаторной топологии, М., 1976; Александров П. С, Введение в топологию, М., 1980.

Абдулла Аъзамов.

---

Кирилл алифбосида мақола: ТОПОЛОГИЯ ҳақида тўлиқ маълумот категорияси: T ҳарфи фикрингиз бўлса изоҳда қолдиринг ва дўстларингиз билан улашинг биз бундан минатдор бўламиз бизни кузатишни давом этинг (у ким, бу нима, қанақа ?, тушунчаси деган саволарга жавоб топишингиз мумкин)